Abr 17

Pitágoras: El teorema, el hombre y la inmortalidad

Busto de Pitagoras

Busto de Pitagoras

Cuando se les preguntan a las personas que mencionen los nombres de matemáticos famosos de toda la humanidad, la mayoría responde entre ellos a Pitágoras.

El famoso teorema de Pitágoras es una ecuación que todo el mundo repite en todas las lenguas:

“En un triangulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”

c2=a2+b2

Sin embargo el mundo conoce a Pitágoras y el famoso teorema que lleva  su nombre y la ironía de la historia es que este teorema era conocido mucho antes de que el naciera.

O sea que el teorema de Pitágoras realmente no es de el, incluso en el mundo científico existen serias dudas de que el lo demostrara.

Es uno de los teoremas que cuenta con un buen numero de demostraciones diferentes entre si1.

No pretendo en este articulo poner todas las demostraciones ya que se tornaría cansón y extenso a los lectores, lo que si abordare las demostraciones mas elementales.

 

DEMOSTRACION DEL TEOREMA POR LOS CHINOS

 

Fig 1: Demostracion del Teorema de Pitagoras por los Chinos

Fig 1: Demostracion del Teorema de Pitagoras por los Chinos

Una de las demostraciones más antiguas, es la de los chinos, para el año 1000 AC. Es una de las demostraciones mas naturales ya que es totalmente grafica y entendible visualmente por el ser humano.

Todo el mundo sabe que El Área de un rectángulo de lados a (base) y b (altura)

Se calcula como:

Área (rectángulo) = a. b

Si trazamos una de sus diagonales dentro del el comprobaremos que efectivamente dentro del rectángulo se han formado dos triángulos rectángulos y por lo tanto el área de cualquiera de ellos seria la mitad del área del rectángulo, es por eso que la formula del área del triangulo es:

Área (triangulo rectángulo) = (a . b) / 2

La idea era formar como muestra la figura 1 un cuadrado con esos triángulos rectángulos de tal forma que al superponer 4 triángulos rectángulos idénticos, se formase el cuadrado exterior que se ve en la figura de lados (a+b)

Arista (cuadrado exterior formado por los 4 triángulos rectángulos) = a+b

Por lo que por todos es conocido que el Área de un cuadrado es igual a su arista elevada al cuadrado tenemos:

Área (cuadrado exterior formado por los 4 triángulos rectángulos) = (a+b)2                               (ECUACION I)

Pero el gran cuadrado formado por los 4 triángulos rectángulos esta compuesto entonces por las áreas de las siguientes figuras :

  • Por un gran cuadrado interior cuya arista es la hipotenusa de los triángulos rectángulos, por lo tanto :

            Area (cuadrado interior) = c2

  • Por las 4 áreas de los triángulos rectángulos que se calculan como habíamos descrito antes más arriba.

Por lo tanto el Área del Cuadrado formado por los cuatro triángulos rectángulos podría también definirse de la siguiente forma:

Área (cuadrado exterior formado por los 4 triángulos rectángulos) = Área(cuadrado  interior) + 4 (veces) Área(triangulo rectángulo)      

O lo que seria igual sustituyendo sus valores a:

 Área (cuadrado exterior formado por los 4 triángulos rectángulos) = c2 + 4 ((a . b) / 2)              (ECUACION II)


Como matemáticamente la Ecuación I y II dicen lo mismo, o sea el mismo resultado entonces igualando I y II tenemos:

c2 + 4 ((a . b) / 2) = (a+b)2                                                                                                                (ECUACION III)

Desarrollando la ecuación III tenemos:

c2 + 2 (a.b) = a2+ 2(a.b)+ b2

Todo el mundo sabe por secundaria básica o pre-universitario que los términos 2 (a.b) están en diferentes miembros por lo tanto se hacen ceros una vez que pases cualquiera de ellos hacia el miembro contrario y tenemos:

c2 = a2+ b2

Tenemos nuestro teorema  demostrado………………………………..

Se dice que esta elegante forma de demostrar el teorema, Pitágoras nunca supo de esta demostración ni tuvo noticias de su existencia.

UN POCO DE HISTORIA

De lo que si estaba claro Pitágoras era de la utilización por parte de otras culturas anteriores de parte o de resultados parciales de su Teorema: Los Egipcios y los Babilonios.

Pitágoras nació para el año 580 AC en una de las islas Griegas de Asia Menor en Samos. Según se dice fue Tales, uno de los sabios de Grecia que le aconsejo viajar para enriquecer su espíritu y sus conocimientos. Por eso viajo a los dos lugares culturales importantes en aquella época: Egipto y Fenicia.

Los Egipcios según Erodoto son los padres de la Geometría y en gran parte fue por la cercanía del rio Nilo y sus grandes inundaciones. Muchos de los campos de cultivo cercano al Nilo quedaban parcialmente inundados y los que cobraban los impuestos debían calcular el área inundada para poder establecer el valor de dicho impuesto.

Básicamente era una operación que le permitía en el terreno trazar ángulos rectos (de 900) y que tiene que ver mucho con el Teorema2. Se obtenía con este método buscar preferentemente las direcciones de dos de los lados del cuadrado que se perseguía. Así se podía saber el área inundada y el área de cobrar el impuesto.

Esta forma de calcular en el terreno fue seguro muy vital en las construcciones de los templos y las pirámides de Egipto.

Por otra parte los pueblos que habitaban las regiones de los ríos Tigris y Éufrates  o sea la antigua Mesopotamia: los actuales países de Irán e Irak.
Los Sumerios, Acadios, Babilonios y Asirios se tienen noticias que usaban esos métodos.

Estos pueblos hacían observaciones astronómicas de las posiciones de los planetas observados a simple vista: Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno y se conservan en la actualidad vestigios que heredamos de esas culturas:

  • Por un lado el Horóscopo: Se bautizaron las 12 constelaciones del Zodiaco dividiendo exactamente el cielo en 30 partes3.
  • La manera de realizar la cuenta del tiempo.

Los Babilonios escribían sobre tablillas de arcilla con punzones, en algunas de esas tablillas se han encontrado evidencias de carácter matemático.

Se encontró entre estas una tablilla escrita hacia el año 1800 AC en las que se observan cuatro columnas de números distribuidos en 15 filas. Se pensó en un primer momento que podrían ser cifras de alguna operación contable, pero una vez descifrados los números se pudo llegar a la conclusión que su contenido era una relación de ternas pitagoricas4 mas antiguas de las que se tenga conocimiento.

Esto nos da como resultado que aunque no se haya encontrado ninguna tablilla con la demostración del teorema era lógico pensar que los Babilonios conocían y aplicaban el teorema de Pitágoras  muchos años antes de que Pitágoras naciera5. Se piensa que tal vez Pitágoras tuvo conocimiento de los resultados Babilónicos en algún viaje de este por Asia Menor.

Entonces querido lector Ud. se preguntara:

Pitágoras fue un fraude??????, fue inmerecido el reconocimiento ante la historia???????.

Claro que no!!!!!!!!!, el termino “Matemáticas” así como el termino “Filosofía” se lo debemos a este gran hombre.

Se dice que la figura de Pitágoras tiene un velo sobre si de leyenda, misticismo y hasta de culto religioso.

Pitágoras fue contemporáneo de Buda, de Confucio y de Lao Tse, que fueron los representantes de las principales religiones orientales.

Se dice que en sus viajes solamente no se nutrió de conceptos matemáticos y astronómicos sino también religiosos.

LA HERMANDAD PITAGORICA

 

La estrella Pitagorica. Simbolo de la Hermandad Pitagorica

La estrella Pitagorica. Simbolo de la Hermandad Pitagorica

Después de todos estos viajes retorna al mundo Griego y se asienta en Crotona6 y funda una sociedad secreta Matemática, filosófica y religiosa que alcanza un éxito notable en la época contando con más de 600 adeptos.

Era una sociedad en la que todo se compartía, no solo los bienes materiales sino también la parte del conocimiento científico.

El símbolo era el pentagrama o el polígono estrellado de 5 puntas

En esta orden se impartieron las primeras clases públicas de matemáticas.

Los miembros se dividían en dos categorías:

 

  • Los novicios, denominados auditores7.
  • Los Matematicos8.

Como toda hermandad o secta el secreto era una cuestión fundamental para que el conocimiento no pudiera divulgarse hacia el exterior bajo pena de muerte.

La Hermandad Pitagórica fue disuelta de forma violenta en Crotona, su templo fue incendiado obligando a Pitágoras y sus discípulos a cambiar de lugar. Se establecieron en una ciudad llamada Metaponte.

Las influencias de esta hermandad se propagaron por la cuenca Mediterránea por muchos siglos y de hecho ha impregnado a la cultura occidental hasta nuestros días.

APORTES DE LA HERMANDAD PITAGORICA

  1. La necesidad de introducir la demostración de las proposiciones matemáticas de manera inmaterial e intelectual.
  2. Dividieron el saber científico en cuatro ramas: la música, la aritmética, la geometría y la astronomía.

Aritmética: Para ellos los números fueron entes abstractos como resultados de la mente, con independencia propia de los objetos que representan. Dígase números a los enteros y a las fracciones9 de ahí nos viene el termino de numero racional. El concepto de número iba más allá a la denominación de principio y fin de todo el universo

 Música: A los números les atribuían propiedades místicas. Pitágoras descubrió que había una relación entre la armonía musical y los numeros10.

Geometría: El número sagrado de la hermandad pitagórica era el 1011 ya que era la suma del universo: el punto, la línea, el plano y el espacio. El estudio de los números como puntos materiales les permitió estudiar las relaciones entre estos asociándolas con las figuras geométricas: con tres puntos se puede formar un triangulo, atribuían al tres que era un numero triangular, si añades tres puntos mas puedes formar otro triangulo mas grande, o sea el numero 6 es otro numero triangular  por el contrario atribuían al cuatro al cuadrado, y de ahí 9,16,25 que son los números cuadrados. De igual forma surgieron los números pentagonales y hexagonales12.

Se cree que también proviene de Pitágoras la propiedad de numero perfecto13

Astronomía: En astronomía aportaron lo que ha sido hasta ahora la teoría geocéntrica del universo. Son los primeros que aportan un modelo cosmológico para explicar los fenómenos que vemos en el cielo14 .

El concepto música celestial15 tal vez sea también un aporte pitagórico, de tal forma que cada astro se desplazaba por el cielo dando una nota musical característica. El mismo Pitágoras afirmaba que en noches de calma podía escucharse este tipo de canto celestial16.

EL TEOREMA DE PITAGORAS

Lo que mas le maravillo a Pitágoras de toda su vida científica fue la demostración de su famoso teorema17.

Lo más triste del caso es que por el silencio impuesto por las doctrinas de la secta pitagórica actualmente el mundo no sabe a ciencia cierta el tipo de demostración que usaron, aunque se supone que esta demostración no puede estar muy lejos a las demostraciones impuestas por las leyes de la Geometría de Euclides.

Euclides se basa en las propiedades de los paralelogramos para demostrar el teorema de Pitágoras

Utilizando esta sola propiedad es deducible que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

No pretendo desarrollar la demostración pues requiere de algunas explicaciones graficas para que el lector pueda entender18 pero su explicación es una de las mas sencillas de entender por la media humana.

El teorema de Pitágoras fue la caja de pandora que permitió conocer otro tipo de números que no se habían definido hasta el momento.

Por ejemplo habían números que no podían representarse como números enteros de suma de cuadrados de los catetos, este es el caso de cuando hay un triangulo rectángulo de catetos iguales con valor 1. Aparece que la hipotenusa seria la raíz cuadrada del número 2 que no puede ser representado ni como numero entero, ni como fracción o sea como número racional. Aparecen entonces en la matemática el término de número irracional.

La estrella pitagórica se obtiene de enlazar entre si los extremos no consecutivos de un pentágono regular.

En ellas aparecen cuatro tipos de segmentos de longitud diferentes.

Para asombro de los matemáticos de la hermandad pitagórica, tratando de encontrar las razones entre esos segmentos se generaban  números irracionales19.

Se dice que el símbolo de la hermandad pitagórica es uno de los bellos ejemplos en las matemáticas de la existencia de números que ellos se negaban a aceptar.

A veces la matemática irónicamente devora a sus propios hijos……………………………aunque luego los eleve a una gloria imperecedera.

CONCLUSIONES

El teorema de Pitágoras es muy útil para demostrar otras cosas por ejemplo: se acuerdan de las entidades trigonométricas que Ud. aprendió en el pre querido lector????????Bueno si no lo sabia, estas salen a partir del teorema de Pitágoras por ejemplo:

c (hipotenusa)2 = a(cateto)2 + b(cateto)2         (ECUACION I)

Si dividimos en ambos miembros por c2 tenemos:

c2/c2 = a2/c2 + b2/c2                                               (ECUACION II)

esto no es más que :

1=(a/c)2+ (b/c)2                                                         (ECUACION III)

Tomando cualquier ángulo interior del triangulo como referencia , nosotros sin perder generalidad tomaremos el ángulo recto o sea el ángulo de 900 tendríamos que a/c es el cateto opuesto dividido entre la hipotenusa y esto no puede ser mas que el seno del ángulo.

Por otro lado b/c es cateto adyacente sobre hipotenusa y esto no puede ser más que el coseno del ángulo.

Por lo que la ecuación III se transformaría en:

1=sen2(x)+cos2(x)  

Esta ultima ecuación es la primera identidad trigonométrica que nos enseñan en el pre-universitario en las clases de matematicas, pero que interesante hubiese sido que la historia contada en este articulo, así como los resultados obtenidos de sus demostraciones nos las pudieran impartir en la escuela, en la clase del teorema de pitagoras como forma interesante y lógica de saber que las cosas salen de algun lugar, y que una simple formula que vemos fria e inerte posee una historia maravillosa  y que cada cosa tiene sus causas y condiciones, a lo mejor nuestros educandos tuviesen mejor preparación y tuviesen un pensamiento menos mecánico, y fuesen seres humanos con un pensamiento abierto y adaptable, pero bueno………………………esto ya es parte de otro articulo.

Lic. Richard Matos Rodriguez

E-mail: rmatos@stgolub.cubalub.cupet.cu

Leyenda

1 Se dice que hay alrededor de 367 formas distintas de demostrar el teorema.

2 Era una cuerda unida por sus extremos dividida en 12 partes iguales. Si se clavaba en el suelo la cuerda por uno de sus nudos y se formaba un triangulo de lados: 3,4 y 5 nudos, obtenían un triangulo rectángulo.

3 12 constelaciones por 30 partes da 3600 de la circunferencia. Por ahí se heredo la división de la circunferencia en 3600. La de cada grado en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos.

4 Ternas pitagóricas: Son los tres números que responden al teorema de Pitágoras: c2= a2 + b2 , o sea los números 5,3 y 4 es una de las ternas pitagóricas que todo el mundo conoce ya que 52=32+42.

5 Para la suerte de Pitágoras esta tablilla no fue descifrada hasta el siglo XIX.

6 Una ciudad al sur de Italia que se conocía en la época como la Magna Grecia.

7 Ya que no tenían derecho a hablar durante las disertaciones.

8 Eran los que habían llegado a un cierto grado de conocimiento.

9 Fracción: Es el numero representado por la división de un numerador y un denominador, ambos números enteros.

10 Si pulsamos por ejemplo una cuerda tirante en algún instrumento musical por ejemplo nos dará una nota musical. Si la cuerda se reduce a la mitad obtenemos una octava de la nota original, si la cuerda se reduce a un tercio de la longitud obtenemos una nota quinta, y si la reducimos a un cuarto su longitud obtenemos la segunda octava de la nota.

11 El Tetraktys.

12 Pitágoras. Wikipedia 2014.

13 Número perfecto:  es un número natural que es igual a la suma de sus divisores propios positivos, sin incluirse él mismo. Por ejemplo el numero 6 es un numero perfecto, pues 6= 1+2+3. El numero 28 también lo es pues 28=1+2+4+7+14

14 Ellos situaron a la tierra como una esfera en el centro del Universo y girando alrededor de esta a la Luna, el Sol y los demás planetas. Es muy fácil deducir por relatividad de movimiento al saber que el Sol es el centro que esta teoría no se contradice con lo que sabemos actualmente.

15 Ellos le asignaron a la Luna, el Sol y los demás planetas conocidos en la época esferas de cristal que estaban separados a una distancia proporcional a la escala de notas musicales.

16 Se dice que el científico Kepler dejo las partituras de dicho canto celestial.

17 Se dice que Pitágoras en celebración mando a sacrificar bueyes a los dioses.

18 Esta demostración puede verse en el artículo: Teorema de Pitágoras de Wikipedia.

19 Se generaba en las fracciones un numero racional igual a (1+v——5)/2

 

8 comentarios

Ir al formulario de comentarios

  1. Hola amigo te acuerdas de mi el admnistrador de pareja estable como te va ese blog por lo que veo muy bien te felicito porque nosotros los administradores tenemos que hacer mchas cosas para que a la audiencia le gusten por lo que veo ya tiene en tu blog 12536 visitantes uhaoo como ha crecido.Me parece muy intweresante esas propusta que traes para las personas.El blog te lo calificó en doble excelente me ha gustado mucho.Felicidades………………………………

    1. Gracias compa, el tuyo tambien esta bueno, por lo menos trata de dar un mensaje bueno al mundo, mientras yo me esfuerzo en hacer pensar al ser humano y que medite y que pueda ser mejor cada dia con mi blog, tu en cambio tratas de darles amor.
      Eso me recuerda mucho a John y Yoko y lo que trataban de hacer.
      Saludos

  2. Amigo sabes que aunque no pudimos de entrelazar los blogs yo siempre leo todas las entradas que haces pues son muy interesantes y por cierto hay que pensar siempre un poco.Hoy estoy en conexión un buen rato si nesecito alguna ayuda tuya te contactare.

  3. Muy buenos artículos y excelente blog.

    Mis felicitaciones y parabienes.

    Gracias por su comentario – Repasadores en la Universidad: ¿necesidad o lujo?-

    en : http://davidson.cubava.cu/2015/04/17/%EF%BB%BFrepasadores-en-la-universidad-necesidad-o-lujo/

    Lo detalló con lujo y detalles, claro lo vivió en carne propia.

    Salud y suerte y seguimos en combate.

    CubaEstrellaQueIlumina

    • Yitsy on 17 abril, 2015 at 9:57 pm
    • Responder

    Hola, Richie este teorema si que es viejo, fijate que mucho mas viejo que Pitagora, eso no me lo sabia, ves que importante es tu portal, siempre nos enseña algo, esto tambien me recuerda los tiempos en el pre cuando recibia clases de matematica, que por cierto yo y ella no nos llebamos muy bien. Felicidades por todo.

  4. Amigo, te invito a que publiques sobre la proporción áurea, un tema fascinante y con mucho misticismo.
    http://esemediquito.cubava.cu

    1. Primero hermano mio debo dominar el tema y tener fuentes bibliograficas que consultar, no es copiar y pegar, es poder entender y estar preparado para las preguntas, si me pudieras facilitar algo para ir introduciendo al tema te lo agradeceria, despues vendria el analisis de si aporta al estilo y obketivo de Alquimia, Entre Utopia y Libertad, y despues vendria el momento de publicarlo, en el momento preciso, pues como podras ver este blog no se amarra a ningun tema y trata de ser variado.
      En mis articulos esta puesto el correo electronico, por ahi me puedes mandar informacion del tema.
      Gracias, todas las ideas posibles para aportar al conocimiento son validas
      Saludos

      1. Ok, veré trataré de buscar al respecto para mandártelo, pero antes, para que te apasiones por el tema, te sugiero que leas ´´El Código da Vinci´´ de Dan Brown. Genial

Deja un comentario

Your email address will not be published.